O principal propósito da operação de matrizes e vetores é a transformação e representação compacta de dados e sistemas lineares com grandes vantagens para a cognição, computação, inteligência artificial, aprendizagem de máquina e resolução de problemas.
A figura ilustra com o um sistema linear com três variáveis determina um conjunto de planos. O ponto de intersecção é a solução.
Compreender os princípios e qualidades dos sistemas lineares e uso de matrizes, vetores e suas operações, aumenta a capacidade do sujeito e empresa de análise, inteligência e resolução de problemas, tanto qualitativamente (métodos para equacionar e resolver logicamente) quanto quantitativamente (métodos para calcular).
As operações de multiplicação de uma matriz por um vetor (produto matriz-vetor), por exemplo, permitem transformações lineares, resolver problemas envolvendo múltiplas incógnitas, modelar e processar dados de forma compacta e estruturada de forma rápida e com redução de recursos de memória e custos.
Exemplos de Casos Especiais.
Aplicar Transformações Lineares … a multiplicação de uma matriz por um vetor é usada para realizar transformações como rotação, escala, reflexão e cisalhamento (inclinação) de pontos ou objetos em um espaço … o vetor original representa um ponto ou posição, e o vetor resultante é a nova posição após a transformação.
Resolver Sistemas de Equações Lineares … matrizes e vetores formam a base dos métodos numéricos para resolver sistemas de equações lineares, que surgem em diversas áreas da ciência, gestão e otimizaçõ de recursos, cognição, computação, inteligência artificial, aprendizagem de máquina e engenharias … equações lineares são do tipo ax + by = c.
Modelagem e Análise de Dados … matrizes e vetores são ferramentas fundamentais para organizar e gerenciar grandes conjuntos de dados de forma eficiente, como em planilhas, bancos de dados, em algoritmos que lidam com múltiplas dimensões e análises de dados, como economia, finanças, marketing.
Representação Compacta … a notação matricial/vetorial oferece uma maneira extremamente compacta e eficiente de representar e manipular conceitos complexos, como em cadeias de Markov na teoria da probabilidade ou na física (representação de forças, velocidade e aceleração).
Computação e Programação … em programação, vetores e matrizes (arrays) são estruturas de dados essenciais para armazenar coleções de elementos do mesmo tipo … em algoritmos de processamento de imagem, programação linear,
Conceitos Chaves em Álgebra e Sistemas Lineares
Álgebra … é uma ferramenta pilar da matemática, junto com geometria e análise … usada para formular equações, expressões, variáveis, operações matemáticas, símbolos, regras , funções entre conjuntos, polinômios e estruturas algébricas mais complexas … junto com a Análise permite modelar problemas, otimizar processos e sustentar a tomada de decisões estratégicas … otimizar a gestão financeira, planejar investimentos e orçamentos, prever demandas, calcular custos e lucros, e analisar dados … fornece ferramentas para modelar problemas complexos, identificar padrões, tomar decisões embasadas e definir metas, resolver equações, modelar relações quantitativas e desenvolver o pensamento lógico e abstrato.
Álgebra Linear … modelar e manipular sistemas complexos, dados representados como vetores e matrizes, processar imagens (rotação e efeitos), analisar circuitos elétricos, matrizes de interesses de tráfego numa rede, modelar comportamentos de mercados, servir de base teórica para a proramação linear, servir de método de otimização de estruturas e recursos … servir de base para diversas aplicações em tecnologia, ciência e engenharia, como processamento de imagens, inteligência artificial e machine learning … essencial para a ciência em especial para áreas como física, química, economia, medicina engenharia e computação.
Equações Lineares … formular teorias, do tipo ax + by + c = 0, resolver problemas práticos que envolvem relações de proporcionalidade entre conjuntos ou variáveis, situações como circuitos elétricos, otimização de custos, planejamento de rotas, processamento de imagens, algoritmos de computador e para a localização por GPS.
Probabilidade … a álgebra linear usa a probabilidade para estudar a aleatoriedade, incerteza, sorte, risco, azar, chance, dúvida, quantificar a noção do provável em contextos determinados … prever a distribuição de probabilidade de acertos e situações calculadas através de fórmulas e regras matemáticas.
Programação Linear … a álgebra provê as ferramentas para resolver equações lineares usadas para encontrar a melhor solução (máxima ou mínima) para um problema, sujeito a restrições lineares, modelar a situação com uma função objetivo linear (como maximizar lucro ou minimizar custo) e um conjunto de restrições lineares, sendo amplamente aplicada em áreas como logística, finanças e administração de produção para otimizar o uso de recursos limitados.
Análise … processo e métodos de entender um problema, segmentar em partes, enumerar, examinar e compreender as relações entre as partes, resolver um problema ou estruturar método para decobrir informações e modelar uma representação visual ou lógica do resultado da análise.
Conclusão.
As operações álgébricas e computacionais entre matrizes e vetores fornecem a linguagem matemática e computacional necessária para modelar, simular e resolver uma vasta gama de problemas do mundo real.
- A modelagem matemática na empresa e uso da algebra linear, equações lineares, programaçãolinear, matrizes e vetores e operações permite “matematizar” a gestão e o conhecimento na empresa e criar modelos de avaliações qualitativa e quantitativas que irão direcionar tomadas de descisão e resolução de problemas.
- Sistemas lineares, matrizes e vetores são formas de estrutura e modelar o nosso entorno, qualificá-lo e quantificá-lo de forma matemática e científica.
- Srrvem de ferramenta para ensar de forma algébrica e linear, fazer abstrações de alto nível e resolver problemas complexos de forma estruturada, mais simples e rápida.
- Os softwares de planilha eletrônica, tal como o conhecido Excell, exploram os prncípios matemáticos e funções matriciais entre vetores … organiza dados em linhas e colunas, forma uma grade de células onde é possível inserir números, automatizar cálculios complexos, usar fórmulas e funções, criar gráficos para visualizar dados e organizar informações de forma eficiente.
- Sistemas lineares são suportados pela álgebra linear com as seguintes premissas: não existir dependência entre as equações, ter o mesmo número de equações e de incógnitas para que o problema tenha uma solução.
- O número de variáveis (incógnitas) também é chamado de quantidade de dimensões do problema.
- O número de dimensões está relacionado ao espaço vetorial.
- Por outro lado, os números que são subsumidos às incógnitas das equações podem ser de vários universos.
- Para que o resultado de um sistema seja existente e determinado, não pode haver redundância, ou seja não haver dependência entre as matrizes que representam as equações.
